Razonamiento Matemático: Función

En la vida diaria una persona tiene contacto con el concepto de función muy seguido, por
ejemplo. El costo de la electricidad que consume, lo que paga en la gasolinera, la paridad
peso-dólar, etc. Es tan importante este concepto que practicamente podríamos decir que
no hay un lugar en la vida moderna donde no esté presente. Las compañías de seguros, las
empresas automotrices, y casi toda la economía actual se maneja en respuesta a las funciones
que rigen su operación. En el área de ingeniería también es de particular importancia en la
mayoría de las aplicaciones.
Es por lo tanto de particular importancia que un alumno tenga un dominio del concepto
y sepa analizar, representar y manipular las funciones.

Función:

Es una relación entre dos variables cuyo resultado es una pareja de valores x,y en el punto cartesiano, cuyo primer elemento (valor de x) nunca se repite.

Las funciones son de los siguientes tipos:

Lineal
Cuadrática
Raíz cuadrática
Racional lineal
Racional cuadrática
Exponencial
Logarítmica
Trigonométrica

Función lineal:
La función lineal es de la forma f(x)=mx+b donde b representa la intersección de la recta con el eje “y” cuando el valor de "x" es igual a cero y "m" es la pendiente de la recta la cual puede tener 3 condiciones:
m>0 pendiente es positiva (sube)
m<0 pendiente es negativa (baja) m=0 no tiene pendiente (recta horizontal).
Ejemplo: graficar la función 3x-6=0 1er paso (eje x) encontrar los valores de intersección con el eje de las x igualando la función a cero

3x-6=0

3x=0+6

x= \frac{6}{3}

x=2

(2,0) punto de intersección

2do paso (eje y)
encontrar la intersección con el eje y sustituyendo x=0 en la función

y=3(0)-6

y=0-6

y=-6

(0,6) intersección

3er paso (pendiente)
m= al valor que tenga en la ecuación sobre 1

m=\frac{3}{1}

m=3

la pendiente es positiva e indica que avanza una unidad en "x" y sube 3 unidades en "y".

Función Cuadrática:

En matemáticas una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:

Gráficas de funciones cuadráticas.F(x)=ax2+bx+c
Donde a, b y c son constantes y "a" es distinto de 0.
La representación gráfica en el plano XY haciendo:
y=f(x)
Esto es:
y=ax2+bx+c

Ejemplo:

f(x)= x^2-6x+8

1er paso factorizar

x^2-6x+8

(x-4)(x-2)=0

x=4

x=2

a(4,0) b(2,0)

2do paso sustituir f(x)=0 en la ecuación.

f(0)=(0)^2-6(0)+8

f(0)=0-0+8
f(0)=8
c(0,8)

3er paso sacar punto d por medio de la formula

h= \frac{-b}{2a}

h= \frac{-(-6)}{2(1)}

h= \frac{6}{2}

h=3

4to paso sustituir "h" en f(x) de la ecuación.

k=f(h)= (3)^2-6(3)+8

=9-18+8
= -1

Función Raíz Lineal

Existen dos tipos la función raíz lineal y la función raíz cuadrática.

Raíz lineal
Se grafica como una media parábola y dependiendo del valor de a
se abre a la derecha si a>0
a la izquierda si a<0
*El punto de intersección con el eje x: se obtiene con la formula

x= \frac{-b}{a}

*Después se resuelve la función y se buscan otros dos puntos para graficar.

ejemplo:

f(x)= \sqrt[]{3x-6}

x= \frac{-(-6)}{3}

x=2

a(2,0)

f(10)= \sqrt[]{3(10)-6}

f(10)= \sqrt[]{30-6}

f(10)= \sqrt[]{24}

y=4.9

b(10,4.9)

Función Raíz Cuadrática

Se grafica como 2 medias hipérbolas cuando a>0, y cuando a<0 se grafica como una media elipse.
Paso 1: encontrar los dos puntos donde corta el eje de las x sea la función

f(x)= \sqrt[]{x^2-5x+6}

x^2-5x+6=0

(x-3)(x-2)=0

x=3

x=2

a(3,0) b(2,0)

Paso 2:
buscar dos números uno mayor a los puntos y otro menor.

f(5)= \sqrt[]{(5)^2-5(5)+6}

f(5)= \sqrt[]{25-25+6}

f(5)= \sqrt[]{6}

f(5)=2.44

c(5,2.44)

f(0)= \sqrt[]{(0)^2-5(0)+6}

f(0)= \sqrt[]{0-0+6}

f(0)= \sqrt[]{6}

f(0)=2.44

d(0,2.44)

Función logaritmo natural

forma f(x)= k + ln (x-p)
k= desplazamiento vertical (arriba-abajo)
p=desplazamiento horizontal (derecha-izquierda)
ejemplo:

f(x)=ln(x-3

x-3=0

x=3 desplazamiento derecha

y(4)= ln(4-3)=0

y(5)=ln(5-3)=0.69

y(6)=ln(6-3)=1.09

a(4,0)
b(5,0.69)
c(6,1.09)